Akışkan Kinematiği Nedir? Lagrange ve Euler Tanımlamaları

Akışkanlar mekaniğinin önemli bir konusu olan akışkan kinematiği, akışkanların hareketinin incelenmesi ve tanımlanması konu alır. Bu sebeple de sayısız akış uygulamasının bilimsel temelini oluşturmaktadır. Akışkan kinematiği konusu oldukça geniş bir konu olduğundan bir yazı serisi haline getirdik. İlk yazımız olan bu yazıda da akışkan kinematiği açıklamasından başlayarak, Lagrange ve Euler tanımlamaları üzerinde duracağız.

Kinematik Nedir?

Kinematik kısaca hareketi inceleyen bir bilimidir. Temel olarak hareketi incelemenin ve tanımlamanın iki farklı yöntemi mevcuttur. Bunlardan ilki temel bir fizik yöntemi olan hareket halindeki cisimlerin tek tek hareket yörüngelerini takip etmektir. Örnek vermek gerekirse bilardo toplarının birbirleriyle veya masa kenarıyla çarpışmaları ile meydana gelen hareketi Newton yasaları ile tanımlanır. Böylece bir bilardo topunun bu yasaları kullanılarak hangi yöne gideceğini, bir toptan diğerine aktarılacak momentum ve kinetik enerji miktarını doğru olarak tahmin edebiliriz. Örnekte bahsettiğimiz hareketlerin kinematiği her bir cismin zamana bağlı konum vektörü ve hız vektörünün takip edilmesini gerektirir.

Akışkan Kinematiği Nedir?

Akışkan Kinematiği, akışkanların nasıl aktığını ve hareketlerinin de nasıl tamamlanacağını inceler. Yani harekete sebep olan kuvvet ve momentum gibi parametreleri dikkate almayarak akışkan hareketinin tanımlanmasını konu edinir. Akışkan hareketleri, katı cisimlerin hareketleri gibi kolaylıkla takip edilemezler. Bunun en büyük sebepleri ise, sürekli olmaları, şekil değiştirmeleri ve akışkan parçacıklarının ayırt edilememesidir. Kinematiği tanımlarken verdiğimiz örneği değerlendirirsek akışkanlar bilardo topları gibi birbirleriyle çarpışan milyarlarca molekülden meydana gelmektedir.

Akışkanların analizindeki bu zorluklardan dolayı ise Lagrange ve Euler tanımlamaları kullanılarak akış analizleri gerçekleştiriliyor.

Lagrange Tanımlaması

İtalyan matematikçi Joseph Louis Lagrange tarafından ortaya atılmış Lagrange tanımlaması ile, akışkanların içerisinde bir akış parçacığının pozisyon ve zaman fonksiyonu ile takibini temel alır. Mesela milyarlarca bilardo topundan oluşan bir akışkan sistemi düşünün. Bu sistemin analizini yapmak için sekiz numaralı bilardo topunu seçtiğinizi varsayalım. Sistem içerisinde milyarlarca bilardo topu birbirleriyle sürekli etkileşim halinde hareket ederken, siz sadece 8 numaralı topu zamana ve ilk konumuna bağlı olarak takip ederek sistemin akış analizini yapmış oluyorsunuz. İşte Lagrange tanımlamasının temel mantığı bu şekildedir.

Biraz daha gerçekçi bir örnek vermek gerekirse, nehir kenarında nehirin akışını gözlemlemek isteyen bir gözlemci düşünün. Bu gözlemci akış ölçümü yapmak için çok uzun bir kabloya bağlı olan probunu suya daldırıyor. Prob akış hareketi ile sürüklenirken, gözlemci de analizini Lagrange tanımlamasına göre gerçekleştirmiş oluyor.

Hareket eden akışkan parçacıklarının analizi oldukça zordur. Akışkanlar makroskobik olarak sürekli bir ortam içerisindedirler ve sürekli şekil değiştirirler, bu sebeplerden dolayı da katılarda olduğu gibi akışkan parçacıklarının arasındaki ilişkiyi açıklamak kolay değildir.

Akışkanlar birbirleriyle sürekli olarak çarpışan milyarlarca molekülden oluşur. Bu moleküllerin küçük bir kısmının izlenmesi ve analiz edilmesi bile günümüzün en hızlı bilgisayarlarıyla bile oldukça zordur. Tüm bu zorluklara rağmen parçacık görüntüleme esaslı Lagrange tanımlaması, bir uzay gemisinin atmosfere girişi ile ilgili gaz dinamiği hesaplamaları ve pasif skalerlerin izlenmesi gibi uygulamalarda kullanılmaktadır.

Euler Tanımlaması

Bir diğer akışkan kinematiği tanımlamamız ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler (1707-1783) tarafından oluşturulan Euler tanımlaması ile akışkanın hareket ettiği bir akış bölgesi veya kontrol hacmi belirlenir. Böylece sabit kütleli akışkan parçacıklarının konum ve hızlarının takibine gerek duyulmaz. Bunun yerine kontrol hacmi içerisinde yer alan basınç alanı, hız alanı ve ivme alanı gibi alan değişkenleri tanımlanır.

Yukarıda yer alan ifadeler hep birlikte akış alanını tanımlar. Hız alanı ise kartezyen koordinatlarda, (x,y,z),(i,j,k) aşağıdaki gibi açıklanabilir.

Benzer açılımlar diğer değişkenler için de yapılabilir. Euler tanımlamasında belirttiğimiz alan değişkenlerinin hepsi belirli bir kontrol hacmi içerisinde (x,y,z) konumunda ve herhangi bir t anında tanımlanır. Yine Euler tanımlamasında her bir akışkan parçacığına gerçekte ne olduğuyla değil, belirlenen zamanda ve konumdaki parçacığın hızı, ivmesi ve basıncının ne olduğu ile ilgilenilir.

Şimdi nehirdeki gözlemcimize geri dönelim. Gözlemcimiz bu sefer nehrin akış analizini yapmak için ölçüm aletinin probunu nehirde belirli bir bölgeye sabitleyerek gerçekleştirmiş olsun. Belirli bir alana sabitlenen bu prob içerisinde bulunduğu akış bölgesindeki verileri konum ve zamana bağlı olarak gözlemciye aktarıyor. Bu şekilde yapılan analiz de Euler tanımlamasına güzel bir örnektir.

Akışkan Kinematiği Sonuç

Lagrange tanımlamasının kullanışlı olduğu ve hareket denklemlerine daha uyumlu olduğu birçok durum olsa da, akışkanlar mekaniği uygulamalarında genel olarak Euler tanımlaması uygundur. Deneysel ölçümlerde bile Euler tanımlaması daha üstündür. Örneğin rüzgar tüneli ölçümlerinde hız ve basıncı ölçen problar genellikle sabit noktalara yerleştirilir.

Kaynak: Akışkanlar Mekaniği “Temelleri ve Uygulamaları” | Yunus A. ÇENGEL-John M. CIMBALA | sayfa 122-123

Akışkan kinematiği çok uzun ve detaylı bir konudur. Bu yazımızda sizlere akışkan kinematiği, Euler ve Lagrange tanımlamalarını en sade şekilde aktarmaya çalıştık. Konuyla ilgili sorularınızı yorum kısmından belirtmeyi unutmayın.